Question

14．数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：$\frac{b_1}{3}+\frac{b_2}{3^2}+\frac{b_3}{3^3}+…+\frac{b_n}{3^n}={a_n}$，求数列{b_n}的通项公式；
（3）令${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}$，求数列{c_n}的 n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列的前n项和求得首项，再由a_n=S_n-S_n-1求出n≥2时的通项公式，验证首项后得答案；
（2）由已知递推式得$\frac{{b}_{1}}{3}+\frac{{b}_{2}}{{3}^{2}}+\frac{{b}_{3}}{{3}^{3}}+…+\frac{{b}_{n-1}}{{3}^{n-1}}={a}_{n-1}$，作差后得答案；
（3）把{a_n}、{b_n}的通项公式代入${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}$，利用错位相减法求数列{c_n}的 n项和T_n．

解答 解：（1）由S_n=n（n+1），得a₁=S₁=2，
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={n}^{2}+n-[（n-1）^{2}+（n-1）]$=2n．
a₁=2适合上式，
∴a_n=2n；
（2）由（1）知，数列{a_n}是公差为2的等差数列，
$\frac{b_1}{3}+\frac{b_2}{3^2}+\frac{b_3}{3^3}+…+\frac{b_n}{3^n}={a_n}$，得
$\frac{{b}_{1}}{3}+\frac{{b}_{2}}{{3}^{2}}+\frac{{b}_{3}}{{3}^{3}}+…+\frac{{b}_{n-1}}{{3}^{n-1}}={a}_{n-1}$，
两式作差得：$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}}={a}_{n}-{a}_{n-1}=2$，
∴${b}_{n}=2•{3}^{n}$；
（3）${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}$=$\frac{2n•2•{3}^{n}}{4}=n•{3}^{n}$，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ，
$3{T}_{n}=1•{3}^{2}+2•{3}^{3}+…+n•{3}^{n+1}$，
则$-2{T}_{n}=3+{3}^{2}+…+{3}^{n}-n•{3}^{n+1}$=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}-n•{3}^{n+1}$，
∴${T}_{n}=\frac{1}{4}（2n-1）•{3}^{n+1}+\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了利用数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．