Question

如图：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=A₁A，AC=BC，点D、E分别为C₁C、AB的中点，O为A₁B与AB₁的交点．
（Ⅰ）求证：EC∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求证：AB₁⊥平面A₁BD．

Answer 1

分析：（1）由O是A₁B与AB₁的交点，知O为A₁B的中点，在△A₁BA中，由E为AB中点，知EO平行A₁A，EO=

A1A

2

，且EO垂直AB，由D为C₁C的中点，知DC=

C1C

2

=

A1A

2

=EO，由此能够证明EC∥平面A₁BD．
（2）由四边形EODC为矩形，知OD⊥OE，由AC=BC，E为AB中点，知EC⊥AB，故OD⊥AB，OD⊥平面ABB₁A₁，由此能够证明AB₁⊥平面A₁BD．

解答：解：（1）∵O是A₁B与AB₁的交点，
直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=A₁A，AC=BC，
∴O为A₁B的中点，
在△A₁BA中，∵E为AB中点，
∴EO平行A₁A，EO=

A1A

2

，且EO垂直AB，
∵D为C₁C的中点，
∴DC=

C1C

2

=

A1A

2

=EO，
∵EO∥DC，且EO=DC，EO垂直AB，
∴四边形EODC为矩形，
∴EC∥OD，且EC=OD，
∵OD?平面A₁BD，
EC?平面A₁BD，
∴EC∥平面A₁BD．
（2）∵四边形EODC为矩形，∴OD⊥OE，
∵AC=BC，E为AB中点，∴EC⊥AB，
∴OD⊥AB，
∴OD⊥平面ABB₁A₁，
∴OD垂直AB₁，
∵AB=A₁A，∴侧面ABB₁A₁为正方形，
∴AB₁⊥A₁B，
∵A₁B与OD都在平面A₁BD上，A₁B∩OD=O，
∴AB₁⊥平面A₁BD．

点评：本题考查EC∥平面A₁BD和AB₁⊥平面A₁BD的证明．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．