Question

一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是，试验不成功的概率都是甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了 3次，每次实验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套．
（I）求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率：
（II）记3次试验中，都选择了第一套方案并试难成功的次数为X，求X的分布列和期望EX．

Answer 1

解：记事件“一次试验中，选择第i套方案并试验成功”为A_i，i=1，2，则P（A_i）=×=．
（Ⅰ）3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率
P=P（A₁•A₁•A₁+A₂•A₂•A₂）=（）³+（）³=．（4分）
（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3，则X～B（3，），
P（X=k）=C₃^k（）^k（）^3-k，k=0，1，2，3．（8分）
X的分布列为

X	0	1	2	3
P

EX=3×=1．（12分）
分析：记事件“一次试验中，选择第i套方案并试验成功”为A_i，i=1，2，则P（A_i）=×=．
（Ⅰ）记事件“一次试验中，选择第i套方案并试验成功”为A_i，i=1，2，则P（A_i）=×=．由此能求出3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率．
（Ⅱ）X的可能值为0，1，2，3，则X～B（3，），P（X=k）=C₃^k（）^k（）^3-k，k=0，1，2，3．由此能求出X的分布列和期望．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，要合理运用二项分布的性质进行解题．