Question

设函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）求f^-1（x）及其定义域；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范围D；
（3）设H（x）=g（x）-f^-1（x），当x∈D时（D为（2）中所求）时，函数H（x）的图象与直线y=a有公共点，求实数a的取值范围．
（4）设H（x）=g（x）-

1

2

f^-1（x），当x∈D时（D为（2）中所求）时，函数H（x）的图象与直线y=a有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用反函数的定义即可求出f^-1（x），然后根据f^-1（x）的表达式的特征即可求出其定义域．
（2）利用条件和（1）的结论可得log₂^（x+1）≤log2

3x+1

然后再结合对数函数的定义域和单调性可得

x+1＞0 3x+1＞0 3x+1 ≥x+1

求出x即可．
（3）由条件和（1）可得H（x）=log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）故要使H（x）的图象与直线y=a有公共点需使a的取值落在函数H（x）的值域内及问题转化为求函数H（x）=log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）的值域故可令t=

3x+1

x+1

（0≤x≤1）然后利用导数判断其在区间[0，1]的单调性从而可求出t的取值范围然后根据对数函数的单调性即可得出H（x）=log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）的值域此即为a的取值范围．
（4）由条件和（1）可得H（x）=

1

2

log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）然后利用（3）的解题思路即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵y=f（x）=2^x-1
∴x=log₂^（y+1）
∴y=log₂^（x+1）
∵x+1＞0
∴x＞-1
∴函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x）=log₂^（x+1）定义域为（-1，+∞）
（2）由（1）可知f^-1（x）≤g（x）等价转化为若log₂^（x+1）≤log2

3x+1

若log₂^（x+1）≤log2

3x+1

∴

x+1＞0 3x+1＞0 3x+1 ≥x+1

∴0≤x≤1
故D=[0，1]
（3）由条件和（1）可得H（x）=log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）
令t=

3x+1

x+1

（0≤x≤1）则t^′=

1-3x

2 3x+1 (x+1)2

（0≤x≤1）
∴0≤x≤

1

3

时t=

3x+1

x+1

单调递增，

1

3

＜x≤1时t=

3x+1

x+1

单调递减
∴当t=

1

3

时tmax=

3 2

4

∵当x=0时t=1，x=1时t=1
∴1≤t≤

3 2

4

∴0≤log2

3x+1

x+1

≤log2

3 2

4

∴要使函数H（x）的图象与直线y=a有公共点则有0≤a≤log2

3 2

4

（4）由条件和（1）可得H（x）=

1

2

log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）
令t=

3x+1

x+1

（0≤x≤1）则t′=

2

(x+1)2

＞0在0≤x≤1上恒成立故t=

3x+1

x+1

在0≤x≤1上单调递增
∴1≤t≤2
∴0≤

1

2

log2

3x+1

x+1

≤

1

2

∴要使函数H（x）的图象与直线y=a有公共点则有0≤a≤

1

2

点评：本题主要考查反函数的概念．解题的关键是第一问要熟记求反函数的步骤：①反解②对调x，y③标明定义域（原函数的值域）而第二问再解对数不等式时要注意不仅要利用对数函数的单调性得出真数的大小关系还应注意真数要大于0．但对于第三问（包括第四问）必须分析出要使H（x）的图象与直线y=a有公共点需使a的取值落在函数H（x）的值域内及问题转化为求函数H（x）=log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）的值域！