Question

若圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2

2

，则直线l的斜率的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：求出圆心与半径，则圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2

2

等价为圆心到直线l：ax+by=0的距离d≤

2

，从而求直线l的斜率的取值范围．

解答： 解：圆x²+y²-4x-4y-10=0可化为（x-2）²+（y-2）²=18，
则圆心为（2，2），半径为3

2

；
则由圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2

2

，
则圆心到直线l：ax+by=0的距离d≤3

2

-2

2

=

2

；
即

|2a+2b|

a2+b2

≤

2

，
则a²+b²+4ab≤0，
若b=0，则a=0，故不成立，
故b≠0，则上式可化为
1+（

a

b

）²+4×

a

b

≤0，
由直线l的斜率k=-

a

b

，
则上式可化为k²-4k+1≤0，
解得2-

3

≤k≤2+

3

，
故答案为：[2-

3

，2+

3

]

点评：本题考查了直线与圆上点的距离的应用以及直线斜率的求解，将圆x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2

2

转化为圆心到直线l：ax+by=0的距离d≤

2

是本题解答的关键，属于中档题．