Question

(本小题满分14分)
将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

 
   
     
………………………
记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．
（1）证明：；
（2）求数列的通项公式；
（3）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．

Answer 1

（1）证明：由已知，当时，，，
所以，  即，     -----------2分
所以 ．                                             ------------3分
（2）又．                                            ------------4分
由（1）可知，数列是首项为1，公差为的等差数列．            ------------5分
所以，
即．                                                     ------------6分
所以当时，．                -----------7分
因此                                        -------------8分
（3）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．
因为，                                 ------------9分
所以表中第1行至第13行共含有数列的前91项，
故在表中第14行第三列，                                         ------------10分
因此．                                           ------------11分
又，
所以．                                                        ------------12分
记表中第行所有项的和为，
则．          -----------14分

解析