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    【题目】已知数列，，…，的项，其中…，，，其前项和为，记除以3余数为1的数列，，…，的个数构成的数列为，.

    （1）求的值；

    （2）求数列的通项公式，并化简.

    【答案】（1）（2），

    【解析】

    （1）根据题意这6项中包含2个1或5个1，其余均为2，这样的数列共有个，即可得解；

    （2）这项中包含2个1或5个1……或个1，其余均为2，所以，结合除以3余数为2，0的数列，，…，的个数构成的数列分别为，，根据规律猜想，并用数学归纳法证明.

    解：（1）因为前六项的和除以3余数为1

    所以这6项中包含2个1或5个1，其余均为2，

    所以这样的数列共有个，故

    （2）因为，，…，和除以3余数为1，

    所以这项中包含2个1或5个1……或个1，其余均为2，

    所以，设除以3余数为2，0的数列，，…，的个数构成的数列分别为，

    同理，，

    ∵

    ∵

    结合（1）猜想，

    下面用数学归纳法证明

    当时，，成立

    假设当时，有，成立，且，

    则当时，数列共项，分两步看，第一步先看前项，前项的和除以3余数为1，2，0的数列的个数分别为，，，第二步看后6项，最后6项的和除以3众数为0，2，1的数列的个数分别为22，21，21

    ∴

    所以当时，猜想也成立

    综上，，

    练习册系列答案
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    （1）求一天内被感染人数为的概率与、的关系式和的数学期望；

    （2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第天新增患者的数学期望记为.

    （i）求数列的通项公式，并证明数列为等比数列；

    （ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率，当取最大值时，计算此时所对应的值和此时对应的值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取）

    （结果保留整数，参考数据：）

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