Question

如图，在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，点P在阴影区域（含边界）中运动，则有

PA

•

BD

的取值范围是（　　）

• A、[-

  1

  2

  ，1]
• B、[-1，

  1

  2

  ]
• C、[-1，1]
• D、[-1，0]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，由此求得BD，进一步利用向量的三角形法则以及向量的运算得到

PA

•

BD

的最值．

解答： 解：∵在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，
∴BD=

2

．
如图所示，过点A作AO⊥BD，垂足为O．
则

PA

=

PO

+

OA

，

OA

•

BD

=0．
∴

PA

•

BD

=（

PO

+

OA

）•

BD

=

PO

•

BD

．
所以当点P取点B时，则

PA

•

BD

=

PO

•

BD

=

1

2

×

2

×

2

=1，
当点P取BC边上的任意一点时，

PA

•

BD

取得最小值=-

1

2

×

2

×

2

=-1．
∴

PA

•

BD

的取值范围是[-1，1]．
故选C．．

点评：本题考查了向量的数量积定义及其性质、投影的定义、向量的三角形法则、直角梯形的性质等基础知识与基本技能方法，考查了转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．