Question

已知函数f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）时，则下列结论正确的是

（1）（2）（3）

（1）?x∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立
（2）?m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实数根
（3）?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）
（4）?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点．

Answer 1

分析：根据题意，依次分析命题：将-x代替x求出f（-x），判断出（1）对；通过分离参数，判断出f（x）在[0，+∞）上的单调性及值域判断出（2）对；通过对（1）（2）的推导过程得到f（x）在R上单调，判断出（3）对，通过另g（x）=0，分离出k，求出k的范围，判断出（4）错；即可得答案．

解答：解：∵函数f（x）=

x

1+|x|

，
∴f（-x）+f（x）=

-x

1+|-x|

+

x

1+|x|

=

-x

1+|x|

+

x

1+|x|

=0恒成立，故（1）正确；
∵函数f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）的在R上单调递增，且值域为（-1，1）
∴函数y=|f（x）|在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，且值域为[0，1）
∴?m∈（0，1），方程|f（x）|=m均有两个不等实数根，故（2）正确；
由（1）知f（x）是奇函数，由（2）的推导知，f（x）在R上单调递增，所以?x₁，x₂，若x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂），故（3）对．
令g（x）=0即f（x）-kx=0即k=

x

1+|x|

≤1，所以当k∈（1，+?），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上无零点，故（4）错．
故答案为：（1）（2）（3）

点评：本题考查判断函数零点的个数常转化为求函数的值域、对于含绝对值的函数的处理方法常利用绝对值的意义去掉绝对值转化为分段函数处理．