Question

（2013•贵阳二模）已知函数f(x)=mx-

m

x

，g(x)=2lnx．
（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当m=1时，证明方程f（x）=g（x）有且仅有一个实数根；
（3）若x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）m=2时，f(x)=2x-

2

x

，求出导函数f'（x），从而求出f'（1）得到切线的斜率，求出切点，根据点斜式可求出切线方程；
（2）m=1时，令h(x)=f(x)-g(x)=x-

1

x

-2lnx，求出h'（x），判定符号得到函数在（0，+∞）上的单调性，然后判定h(e)•h(

1

e

)的符号，根据根的存在性定理可得结论；
（3）mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，讨论x²-1的符号将m分离出来，利用导数研究不等式另一侧的最值，从而求出m的取值范围．

解答：解：（1）m=2时，f(x)=2x-

2

x

，f′(x)=2+

2

x2

，f′(1)=4，
切点坐标为（1，0），
∴切线方程为y=4x-4…（2分）
（2）m=1时，令h(x)=f(x)-g(x)=x-

1

x

-2lnx，
h′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

(x-1)2

x2

≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数．…（4分）
又h(e)•h(

1

e

)=-(

1

e

-e+2)2＜0，
∴y=h（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点
∴在（0，+∞）内f（x）=g（x）有且仅有一个实数根     …（6分）
（或说明h（1）=0也可以）
（3）mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x²-1＞0，则当x∈（1，e]时，m＜

2x+2xlnx

x2-1

恒成立，
令G(x)=

2x+2xlnx

x2-1

，只需m小于G（x）的最小值，
G′(x)=

-2(x2lnx+lnx+2)

(x2-1)2

，
∵1＜x≤e，∴lnx＞0，∴当x∈（1，e]时G'（x）＜0，
∴G（x）在（1，e]上单调递减，
∴G（x）在（1，e]的最小值为G(e)=

4e

e2-1

，
则m的取值范围是(-∞，

4e

e2-1

)．            …（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及根的存在性和利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．