Question

△OAB是边长为4的正三角形，CO⊥平面OAB且CO=2，设D、E分别是OA、AB的中点．
（1）求证：OB∥平面CDE；
（2）求三棱锥O-CDE的体积；
（3）在CD上是否存在点M，使OM⊥平面CDE，若存在，则求出M点的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用DE是△AOB的中位线，可知DE∥OB，根据线面平行的判定定理，从而可证OB∥平面CDE；
（2）求三棱锥O-CDE的体积即是求三棱锥C-ODE，利用椎体体积公式求出即可；
（3）假设在CD上存在点M，使OM⊥平面CDE，推出结论DE⊥OA，这与已知∠DEA=60°矛盾，故在CD上不存在点M，使OM⊥平面CDE，

解答：（1）证明：∵DE是△AOB的中位线
∴DE∥OB
又∵DE?平面CDE，OB?平面CDE
∴OB∥平面CDE；
（2）∵△OAB是边长为4的正三角形，
D、E分别是OA、AB的中点，
∴DE=2，∴S△ODE=

1

2

×2×

3

=

3

，
又∵CO⊥平面OAB且CO=2，
∴V_O-CDE=V_C-ODE=

1

3

×S△ODE×OC=

2 3

3

；
（3）假设在CD上存在点M，使OM⊥平面CDE，则OM⊥DE，
又∵CO⊥DE，CO∩OM=O，∴DE⊥平面OCD，∴DE⊥OA，
这与已知∠DEA=60°矛盾，
∴在CD上不存在点M，使OM⊥平面CDE．

点评：本题以线面垂直为载体，考查线面平行与垂直关系，考查点面距离，考查三棱锥的体积，综合性较强．