Question

已知圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，直线l经过点P（0，-2）
（1）当直线l与圆相切时，求此时直线l的方程；
（2）已知点M在圆C上运动，求点M到直线l的距离的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）将圆C方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，当直线l斜率不存在时，显然x=0符合题意；当直线l斜率存在时，设为k，根据P坐标与k写出直线l方程，由直线与圆相切，圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线l方程，综上，得到满足题意直线l的方程；
（2）当直线l⊥线段CP时，圆心C到直线的距离即为CP的长，当直线l不垂直线段CP时，圆心到直线的距离d＜|CP|，可得动点M到直线的最大距离为|CP|+r，利用两点间的距离公式求出|CP|的长，进而确定出最大距离；再由直线CP与直线l垂直，得到斜率的乘积为-1，求出直线l的斜率，由斜率与P坐标即可确定出直线l的方程．

解答：解：（1）圆的方程可整理成（x-1）²+（y-1）²=1，
∴圆心为C（1，1），半径r=1，
分两种情况考虑：
当直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴时，直线与圆相切，符合题意，
此时直线方程为x=0；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y=kx-2，
∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d=r，即

|k-2-1|

k2+1

=1，
解得：k=

3

4

，直线方程为y=

3

4

x-2，
综上，切线方程为x=0或y=

3

4

x-2；
（2）当直线l⊥线段CP时，圆心C到直线的距离即为CP的长，当直线l不垂直线段CP时，圆心到直线的距离d＜|CP|，
∴动点M到直线的最大距离为|CP|+r=

(1-0)2+(1+2)2

+1=

10

+1；
此时直线的斜率k满足k•k_CP=k•

-2-1

0-1

=-1，解得：k=-

1

3

，
∴M到直线的最大距离为

10

+1，直线方程为y=-

1

3

x-2．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，直线的一般式方程与直线的垂直关系，以及直线的点斜式方程，是一道综合性较强的试题．