Question

已知函数f(x)=

1+ln(x+1)

x

和g（x）=x-1-ln（x+1）
（I）函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？说明理由；
（II）求证：函数y=g（x）在区间（2，3）上有唯一零点；
（III）当x＞0时，不等式xf（x）＞kg'（x）恒成立，其中g'（x）是g（x）导函数，求正整数k的最大值．

Answer 1

分析：（I）先求导函数f′(x)=

1

x2

[

x

x+1

-1-ln(x+1)]=

-1

x2

[

1

x+1

+ln(x+1)]，可以判断f'（x）＜0，从而函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；
（II）可以证明g（x）在（2，3）上是增函数，再利零点存在定理即可证明；
（III）利用分离参数法得k＜

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

，再求其最值即可．

解答：解：（I）函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．
由于f′(x)=

1

x2

[

x

x+1

-1-ln(x+1)]=

-1

x2

[

1

x+1

+ln(x+1)]…（2分）
∵x＞0，∴x2＞0，

1

x+1

＞0，ln(x+1)＞0
所以f'（x）＜0故函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．…（4分）
（II）因为g′(x)=1-

1

x+1

=

x

x+1

＞0
所以g（x）在（2，3）上是增函数…（6分）
又g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-ln4=2（1-ln2）＞0
所以，函数y=g（x）在区间（2，3）上有唯一零点．…（8分）
（III）当x＞0时，不等式xf（x）＞kg'（x）恒成立
即k＜

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

对于x＞0恒成立
设h(x)=

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

，则h′(x)=

x-1-ln(x+1)

x2

…（9分）
由（II）知g（x）=x-1-ln（x+1）在区间（0，+∞）上是增函数，
且g（x）=0存在唯一实数根a，满足a∈（2，3），即a=1+ln（a+1）…（10分）
由x＞a时，g（x）＞0，h'（x）＞0；0＜x＜a时，g（x）＜0，h'（x）＜0
知h（x）（x＞0）的最小值为h(a)=

(a+1)[1+ln(a+1)]

a

=a+1∈(3，4)
故正整数k的最大值为3．…（12分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用分离参数法求解恒成立问题，有一定的综合性．