Question

6．平行于向量（1，2）的光线，从中心在原点的椭圆的焦点F₁（-1，0）射到椭圆上一点M，被椭圆反射后经过另一焦点F₂和点P（3，1），求椭圆标准方程．

Answer 1

分析 求出平行向量（1，2），过F₁（-1，0）的直线，经过F₂和P的反射直线，可得椭圆上一点M（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{4}{3}$），利用椭圆的定义求出a，可得b，即可求椭圆标准方程．

解答 解：平行向量（1，2），过F₁（-1，0）的直线是2x-y+2=0，
经过F₂和P的反射直线是x-2y-1=0，
联立两方程求得椭圆上一点M（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{4}{3}$）
∴2a=$\sqrt{（-\frac{5}{3}+1）^{2}+（-\frac{4}{3}）^{2}}$+$\sqrt{（-\frac{5}{3}-1）^{2}+（-\frac{4}{3}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴a=$\sqrt{5}$，
∵c=1，∴b=2
∴椭圆方程是$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．