Question

若直线l与幂函数y=xⁿ的图象相切于点A（2，8），则直线l的方程为

12x-y-16=0

．

Answer 1

分析：根据幂函数的概念设f（x）=xⁿ，将点的坐标代入即可求得n值，从而求得函数解析式．再根据曲线的解析式求出导函数，把A的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据A的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可

解答：解：设f（x）=xⁿ，
∵幂函数y=f（x）的图象过点 （2，8），
∴2ⁿ=8
∴n=3．
这个函数解析式为 y=x³．
∴y'=3x²
∴在点A（2，8）处的切线的斜率k=y'|_x=2=12；
∴曲线在点A（2，8）处的切线方程为y-8=12（x-2），即12x-y-16=0．
故答案为：12x-y-16=0．

点评：解答本题关键是待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法、考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程等知识，属于基础题．