Question

已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求cosA的值；
（2）若a，b，c成等差数列，求sinC的值．

Answer 1

解：（1）∵，
∴，即．…（2分）
代入sin²A+cos²A=1化简整理，得．…（4分）
∵，可得cosA＞0，
∴角A是锐角，可得．…（6分）
（2）∵a，b，c成等差数列
∴2b=a+c，结合正弦定理得2sinB=sinA+sinC，
即2sin（A+C）=sinA+sinC，…（8分）
因此，可得2sinAcosC+2cosAsinC=sinA+sinC．①
由（1）得及，所以，…（10分）
代入①，整理得．
结合sin²C+cos²C=1进行整理，得65sin²C-8sinC-48=0，…（12分）
解之得或．
∵C∈（0，π），可得sinC＞0
∴（负值舍去）．…（14分）
分析：（1）根据数量积的定义和正弦定理关于面积的公式，化简题中等式可得，结合同角三角函数的基本关系可解出cosA的值；
（2）根据等差数列的性质，结合正弦定理化简得2sinB=sinA+sinC，用三角内角和定理进行三角恒等变换得到2sinAcosC+2cosAsinC=sinA+sinC．将（1）中算出的cosA、sinA的值代入，并结合同角三角函数的基本关系，即可求出．
点评：本题在三角形ABC中给出，求角A的余弦，并在已知a，b，c成等差数列情况下求角C的正弦，着重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于基础题．