Question

已知函数f（x）=x²-（1+2a）x+alnx（a为常数）．
（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在x=1处切线的方程；
（2）当a＞0时，讨论函数y=f（x）在区间（0，1）上的单调性，并写出相应的单调区间．

Answer 1

解：（1）当a=-1时，f（x）=x²+x-lnx，则
∴f（1）=2，f′（1）=2
∴曲线y=f（x）在x=1处切线的方程为y-2=2（x-1）
即y=2x；
（2）由题意得，
由f′（x）=0，得
①当时，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或；
令f′（x）＜0，x＞0，可得
∴函数f（x）的单调增区间是（0，a）和，单调减区间是；
②当时，，当且仅当x=时，f′（x）=0，
所以函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数；
③当时，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或a＜x＜1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得
∴函数f（x）的单调增区间是（0，）和（a，1），单调减区间是；
④当a≥1时，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜；
令f′（x）＜0，x＞0，可得
∴函数f（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是．
分析：（1）求导函数，确定切线的斜率，从而可求曲线y=f（x）在x=1处切线的方程；
（2）求导函数，求出函数的零点，再进行分类讨论，从而可确定函数y=f（x）在区间（0，1）上的单调性与单调区间．
点评：本题重点考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，利用导数的正负确定函数的单调性是关键．