【题目】如图,在四棱锥中,平面,点为中点,底面为梯形,,,.
(1)证明:平面;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)取中点, 连接,.利用中位线性质,结合平行线的传递性,可证出ME与CD平行且相等,从而得到四边形是平行四边形,可得CM∥DE,最后根据线面平行的判定定理,证出CM∥平面PAD;
(2)建立空间坐标系,求得两个面的法向量,利用向量夹角公式求得二面角的大小.
(1)如图,取中点,连接,.
∵是中点,
∴,.
又,,
∴,.
∴四边形为平行四边形.
∴.
∵平面,平面,
∴平面.
(2)取中点,由已知为正方形,又平面,故以为原点,,,为,,轴建立如图所示直角坐标系,
设,则,,,,,
则,,设平面的法向量,则有,,解得.
同理可求得平面的法向量,
∴,即平面与平面所成锐二面角的大小为.
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【题目】从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
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【题目】如图,在正方体中,点是线段上的动点,则下列说法错误的是( )
A. 当点移动至中点时,直线与平面所成角最大且为
B. 无论点在上怎么移动,都有
C. 当点移动至中点时,才有与相交于一点,记为点,且
D. 无论点在上怎么移动,异面直线与所成角都不可能是
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【题目】已知椭圆的离心率为,,,,的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点作与轴不重合的直线交椭圆于,两点,连接,分别交直线于,,两点,若直线,的斜率分别为,,试问:是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.
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【题目】已知抛物线:上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(1)求抛物线的方程;
(2)设直线与抛物线交于两点、,且,是弦中点,过作平行于轴的直线交抛物线于点,得到,再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点、,得到和,按此方法继续下去,解决下列问题:
①求证:;
②计算的面积;
③根据的面积的计算结果,写出、的面积,请设计一种求抛物线与线段所围成封闭图形面积的方法,并求此封闭图形的面积.
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【题目】已知椭圆:的左、右焦点分别为、,是椭圆的上顶点,,且的面积为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设、是椭圆上的两个动点,,求当的面积取得最大值时,直线的方程.
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