Question

7．如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB²=BE•BD-AE•AC．

Answer 1

分析 连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB²=BE•BD-AE•AC．

解答 证明：连接AD，因为AB为圆的直径
所以∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠AFE=90°，
则A，D，E，F四点共圆，
∴BD•BE=BA•BF，
又△ABC∽△AEF，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}$，即AB•AF=AE•AC
∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF=AB•（BF-AF）=AB²．

点评 本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．