Question

2．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点．
（1）求直线BE与A₁C所成角的余弦值．
（2）在线段AA₁上是否存在点F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出|AF|，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点，进而可表示向量，利用向量的数量积可求直线BE与A₁C所成的角的余弦；
（2）要使得CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F，由 $\overrightarrow{C{F}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}F}$=0可建立方程，从而得解．

解答 解：（1）因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥面ABC，∠ABC=$\frac{π}{2}$．
以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，…（2分）
因为AC=2，∠ABC=90°，所以AB=BC=$\sqrt{2}$，
从而B（0，0，0），A（$\sqrt{2}$，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），
B₁（0，0，3），A₁（$\sqrt{2}$，0，3），C₁（0，$\sqrt{2}$，3），D（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，3），E（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
所以$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，3），$\overrightarrow{BE}$=（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{2}$）
而|$\overrightarrow{C{A}_{1}}$|=$\sqrt{13}$，|$\overrightarrow{BE}$|=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，且$\overrightarrow{C{A}_{1}}$•$\overrightarrow{BE}$=$\frac{7}{2}$，
所以cosθ=$\frac{\overrightarrow{C{A}_{1}}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{C{A}_{1}}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{13}×\frac{\sqrt{11}}{2}}$=$\frac{7\sqrt{143}}{143}$．…（5分）
所以直线BE与A₁C所成的角的余弦为$\frac{7\sqrt{143}}{143}$．…（6分）
（2）设AF=x，则F（$\sqrt{2}$，0，x），$\overrightarrow{CF}$=（ $\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，x），
$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（ $\sqrt{2}$，0，x-3），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），…（8分）
则：$\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{{B}_{1}D}$=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+（-$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+x×0=0，
所以 $\overrightarrow{CF}$⊥$\overrightarrow{{B}_{1}D}$，…（9分）
要使得CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F，由 $\overrightarrow{C{F}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}F}$=2+x（x-3）=0，有x=1或x=2，…（11分）
故当AF=1，或AF=2时，CF⊥平面B₁DF．…（12分）

点评 本题主要考查用向量法研究线线垂直和异面直线所成的角，选用向量法，避开了作辅助线，优越性很强，作为理科要注意应用．