Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若a=4时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；
（3）若存在a∈[-4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）a=4时，f（x）=x|x-4|+2x=，
当x≥4时，f（x）=x²-2x的增区间是[4，+∞），无减区间．
当x＜4时，f（x）=6x-x²增区间是（-∞，3]，减区间是[3，4]，
综上所述，f（x）的单调减区间为[3，4]．…（4分）
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，
即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即|x-a|＜，-，
x-，故只要x-＜a，且a＜x+在x∈[1，2]上恒成立即可，
在x∈[1，2]时，只要x-的最大值小于a，
且x+的最小值大于a即可，…（6分）
而当x∈[1，2]时，（1-）′=1+＞0，x-为增函数，；
当x∈[1，2]时，（x+）′=1-＞0，x+为增函数，（x+）_min=2，
所以．…（10分）
（3）当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，
则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，…（11分）
则当a∈（2，4]时，由f（x）=，
得x≥a时，f（x）=x²+（2-a）x，对称轴x=，
则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a时，f（x）=-x²+（2+a）x，对称轴x=，
则f（x）在x∈（-∞，]为增函数，此时f（x）的值域为（-∞，]，
f（x）在x∈[）为减函数，此时f（x）的值域为（2a，]；
由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，
则2ta∈（2a，），
即存在a∈（2，4]，使得t∈（1，）即可，
令g（a）==，
只要使t＜（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，
∴，
故实数t的取值范围为（1，）；…（15分）
同理可求当a∈[-4，-2）时，t的取值范围为（1，）；
综上所述，实数t的取值范围为（1，）．…（17分）
分析：（1）a=4时，f（x）=，由此能求出f（x）的单调减区间．
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，由此能求出所有的实数a．
（3）当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；当a∈（2，4]时和当a∈[-4，-2）时，等价转化f（x）的表达式，利用函数的单调性能得到实数t的取值范围．
点评：本题考查函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．