分析 (Ⅰ)利用向量的数量积运算、二倍角的余弦公式变形、两角和的正弦公式化简解析式,由x的范围求出2x+$\frac{π}{6}$的范围,由正弦函数的最值求出f(x)的最大值、最小值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)化简f(B)=2,由B的范围和特殊角的三角函数值求出B,由条件和正弦定理求出a、c的关系,由余弦定理列出方程求出a的值.
解答 解:(Ⅰ)由题意得,$f(x)=\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2(1-{sin}^{2}x)+2\sqrt{3}sinxcosx$,…(2分)$2co{s}^{2}x+\sqrt{3}sin2x=2×\frac{1+cos2x}{2}+\sqrt{3}sin2x=\sqrt{3}sin2x+cos2x+1$
=$2sin({2x+\frac{π}{6}})+1$…(4分)
当$x∈[{0,\frac{π}{2}}]$时,$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6},\frac{7π}{6}}]$,
所以当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$,即$x=\frac{π}{6}$时,f(x)的最大值为3;
当$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$,即$x=\frac{π}{2}$时,f(x)的最小值为当-1.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ),$f(B)=2sin(2B+\frac{π}{6})+1=2$,
则$sin(2B+\frac{π}{6})=\frac{1}{2}$,…(6分)
由B∈(0,π)得,$2B+\frac{π}{6}∈(\frac{π}{6},\frac{13π}{6})$,
所以$2B+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$,解得$B=\frac{π}{3}$,…(8分)
∵sinC=2sinA,∴由正弦定理得c=2a,
又b=3,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB
即9=b2=a2+4a2-2a×2a×$\frac{1}{2}$…(10分),
解得$a=\sqrt{3},c=2\sqrt{3}$.…(12分)
点评 本题考查正弦函数的最值,向量的数量积运算,二倍角的余弦公式变形、两角和的正弦公式,以及正弦定理、余弦定理的应用,考查化简、变形能力.
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A. | (-2,+∞) | B. | (0,+∞) | C. | (-∞,0) | D. | (-∞,2) |
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A. | 第4项 | B. | 第5项 | C. | 第6项 | D. | 第7项 |
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