分析:(I)连接AC1交A1C于点G,连接DG,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1是平行四边形,则AC=GC1,而AD=DB,则DG∥BC1,DG?平面A1DC,BC1?平面A1DC,根据线面平行的判定定理可知BC1∥平面A1DC.
(II)过点D作DE⊥AC交AC于E,过点D作DF⊥A1C交A1C于F,连接EF,而平面ABC⊥面平ACC1A1,DE?平面ABC,平面ABC∩平面ACC1A1=AC,
根据面面垂直的性质定理可知DE⊥平ACC1A1,则EF是DF在平面ACC1A1内的射影,则EF⊥A1C,从而∠DFE是二面角D-A1C-A的平面角,在直角三角形ADC中,求出DE、DF,即可求出∠DFE.
解答:(I)证明:连接AC
1交A
1C于点G,连接DG,
在正三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,四边形ACC
1A
1是平行四边形,
∴AC=GC
1,
∵AD=DB,
∴DG∥BC
1(2分)
∵DG?平面A
1DC,BC
1?平面A
1DC,
∴BC
1∥平面A
1DC.(4分)
(II)解:过点D作DE⊥AC交AC于E,过点D作DF⊥A
1C交A
1C于F,连接EF.
∵平面ABC⊥面平ACC
1A
1,DE?平面ABC,平面ABC∩平面ACC
1A
1=AC,
∴DE⊥平ACC
1A
1.
∴EF是DF在平面ACC
1A
1内的射影.
∴EF⊥A
1C,
∴∠DFE是二面角D-A
1C-A的平面角,(8分)
在直角三角形ADC中,
DE==.
同理可求:
DF==.
∴
sinDFE==.
∴
∠DFE∈(0,).
∴
∠DFE=arcsin.(12分)
点评:本题主要考查了直线与平面平行的判定定理以及二面角的求法.涉及到的知识点比较多,知识性技巧性都很强.