Question

（Ⅰ）若a，b∈R，试证：a²+b²≥2（a+b-1）；
（Ⅱ）已知正数a，b满足2 a²+3 b²=9，求证：．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：欲证：a²+b²≥2（a+b-1）成立，只需证：a²+b²-2（a+b-1）≥0成立，
只需证：（a-1）²+（b-1）²≥0成立，上式对a，b∈R显然成立，故原不等式a²+b²≥2（a+b-1）成立．
（Ⅱ）证明：
===，
当且仅当，即 时，取等号，
综上：
分析：（Ⅰ）要证不等式成立，只需证：a²+b²-2（a+b-1）≥0成立，只需证：（a-1）²+（b-1）²≥0成立．
（Ⅱ） 倍要证不等式的左边化为，使用基本不等式可得
，把已知条件代入可证的结论．
点评：本题考查用分析法证明不等式，基本不等式的应用，将式子变形后使用基本不等式是解题的关键和难点．