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已知函数

(Ⅰ)求函数的单调区间;

(Ⅱ)若,求在区间上的最大值;

(III)设函数,(),试讨论函数图象交点的个数

 

【答案】

(Ⅰ)∵,其定义域为.                 1分

.                   (2分)

,∴当时,;当时,

故函数的单调递增区间是;单调递减区间是.         (4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,函数的单调递增区间是;单调递减区间是

时,在区间上单调递增,的最大值

时,在区间上单调递增,在上单调递减,则处取得极大值,也即该函数在上的最大值,此时的最大值

在区间上的最大值…………………(8分)

(Ⅲ)讨论函数图象交点的个数,即讨论方程上根的个数.

该方程为,即

只需讨论方程上根的个数, ……………………(9分)

,令,得

时,;当时,.  ∴

时,; 当时,, 但此时,且以轴为渐近线.

如图构造的图象,并作出函数的图象.

①当时,方程无根,没有公共点;

②当时,方程只有一个根,有一个公共点;

③当时,方程有两个根,有两个公共点.

【解析】(I)直接求导,根据导数大于零和小于零,求其增减区间即可.

(II)在第(I)问的基础上对a进行讨论求极值,最值.

(III)可以构造函数,然后利用导数研究其图像特征,作出草图,然后数形结合求解.

 

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