已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若,求在区间上的最大值;
(III)设函数,(),试讨论函数与图象交点的个数
(Ⅰ)∵,其定义域为. 1分
∴. (2分)
∵,∴当时,;当时,.
故函数的单调递增区间是;单调递减区间是. (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,函数的单调递增区间是;单调递减区间是.
当时,在区间上单调递增,的最大值;
当时,在区间上单调递增,在上单调递减,则在处取得极大值,也即该函数在上的最大值,此时的最大值;
∴在区间上的最大值…………………(8分)
(Ⅲ)讨论函数与图象交点的个数,即讨论方程在上根的个数.
该方程为,即.
只需讨论方程在上根的个数, ……………………(9分)
令,.
因,,令,得,
当时,;当时,. ∴,
当时,; 当时,, 但此时,且以轴为渐近线.
如图构造的图象,并作出函数的图象.
①当即时,方程无根,没有公共点;
②当即时,方程只有一个根,有一个公共点;
③当即时,方程有两个根,有两个公共点.
【解析】(I)直接求导,根据导数大于零和小于零,求其增减区间即可.
(II)在第(I)问的基础上对a进行讨论求极值,最值.
(III)可以构造函数,然后利用导数研究其图像特征,作出草图,然后数形结合求解.
科目:高中数学 来源:2014届江西省高三上学期第二次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若对任意,函数在上都有三个零点,求实数的取值范围.
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