Question

（2013•顺义区二模）已知函数f(x)=

ex

1+ax2

，其中a为正实数，e=2.718…．
（I）若x=

1

2

是y=f（x）的一个极值点，求a的值；
（II）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）依题意，由f′（

1

2

）=0，即可求得a的值；
（II）求f′（x）=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

，令f′（x）=0可求得方程ax²-2ax+1=0的根，将f′（x）与f（x）的变化情况列表，可求得f（x）的单调区间．

解答：解：f′（x）=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

．
（I）因为x=

1

2

是函数y=f（x）的一个极值点，
所以f′（

1

2

）=0，
因此

1

4

a-a+1=0，
解得a=

4

3

．
经检验，当a=

4

3

时，x=

1

2

是y=f（x）的一个极值点，故所求a的值为

4

3

．…（4分）
（II）f′（x）=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

（a＞0），
令f′（x）=0得ax²-2ax+1=0…①
（i）当△=（-2a）²-4a＞0，即a＞1时，方程①两根为
x₁=

2a- 4a2-4a

2a

=

a- a2-a

a

，x₂=

a+ a2-a

a

．
此时f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞， a- a2-a a ）	a- a2-a a	（ a- a2-a a ， a+ a2-a a ）	a+ a2-a a	（ a+ a2-a a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以当a＞1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，

a- a2-a

a

），（

a+ a2-a

a

，+∞）； f（x）的单调递减区间为（

a- a2-a

a

，

a+ a2-a

a

）．
（ii）当△=4a²-4a≤0时，即0＜a≤1时，ax²-2ax+1≥0，
即f′（x）≥0，此时f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
所以当0＜a≤1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．…（13分）

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的单调性，求得f′（x）=0之后，将f′（x）与f（x）的变化情况列表是关键，属于中档题．