Question

选修4-5：不等式选讲
对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：设 ，原式变为|t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，对任意t恒成立，故|t+1|+|2t-1|的最小值大于或等于
|x-1|+|x-2|，从而求出实数x的取值范围．
解答：解：原式等价于 ≥|x-1|+|x-2|，设 ，
则原式变为|t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，对任意t恒成立．
因为|t+1|+|2t-1|=，最小值在 t= 时取到，为，
所以有 ≥|x-1|+|x-2|=  解得 x∈[，]．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想．判断|t+1|+|2t-1|的最小值大于或等于|x-1|+|x-2|
是解题的关键．