Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F₁MF₂是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=8，证明：直线AB过定点(-

1

2

，-2)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件知b=2，a2=(

2

b)2=8，由此能够求出椭圆方程．
（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．由 

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由韦达定理结合题设条件能够导出直线AB过定点（-

1

2

，-2）．若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x₀，由题设条件能够导出直线AB过定点（-

1

2

，-2）．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，
点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F₁MF₂是等腰直角三角形，
∴b=2，a2=(

2

b)2=8，
所求椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1． …（5分）
（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，
依题意m≠±2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0．…（7分）
则x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

．
∵

y1-2

x1

+

y2-2

x2

=8，
∴

kx1+m-2

x1

+

kx2+m-2

x2

=8，
即2k+（m-2）•

x1+x2

x1x2

=8．…（10分）
所以k=-

mk

m+2

=4，整理得 m=

1

2

k-2．
故直线AB的方程为y=kx+

1

2

k-2，即y=k（x+

1

2

）-2．
所以直线AB过定点（-

1

2

，-2）． …（12分）
若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x₀，
设A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），
由已知

y0-2

x0

+

-y0-2

x0

=8，
得x0=-

1

2

．此时AB方程为x=-

1

2

，显然过点（-

1

2

，-2）．
综上，直线AB过定点（-

1

2

，-2）．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．