Question

【题目】求证：
（1）a2＋b2≥2(a－b－1).
（2）若a＞b＞c，则bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2＜2＋a2b.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：a2＋b2－2(a－b－1)

＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，

∴a2＋b2≥2(a－b－1).

（2）

证明：bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b)

＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－ab)

＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)ab(b－a)

＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab)

＝(b－a)(c－a)(c－b)，

∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0.

∴(b－a)(c－a)(c－b)＜0.

∴bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.

【解析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少.(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法.(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号.有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论.