Question

【题目】已知函数 （a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性；
（3）求a的取值范围，使f（x）+f（2x）＞0在其定义域上恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）
（2）解： = = ，

∴f（x）是偶函数

（3）解：∵函数f（x）在定义域上是偶函数，

∴函数y=f（2x）在定义域上也是偶函数，

∴当x∈（0，+∞）时，f（x）+f（2x）＞0可满足题意，

∵当x∈（0，+∞）时，x3＞0，

∴只需 ，即 ，

∵a2x+ax+1＞0，

∴（ax）2﹣1＞0，解得a＞1，

∴当a＞1时，f（x）+f（2x）＞0在定义域上恒成立

【解析】（1）利用ax﹣1≠0即可求得函数f（x）的定义域；（2）由 可推知f（﹣x）=f（x），从而可判断函数f（x）的奇偶性；（3）利用（1）知f（x）为偶函数，可知当x∈（0，+∞）时，x3＞0，从而可判知，要使f（x）+f（2x）＞0在其定义域上恒成立，只需当a＞1时即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数的奇偶性的理解，了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．