Question

三棱锥A-BCD中，面ACD与面BCD均为正三角形，点E，F，G，H分别为BD，BC，AC，AD中点
（1）证明：四边形EFGH为矩形；
（2）若二面角A-DC-B大小为60°，求直线EH与面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得EFGH是平行四边形，取CD中点O，连结AO，BO，则CD⊥AB，EH⊥EF，由此能证明四边形EFGH为矩形．
（2）由已知得∠AOB=60°，EH与平面BCD所成角为AB与面BCD所成角，由此能求出EH与面BCD所成角的正弦．

解答： （1）证明：∵三棱锥A-BCD中，面ACD与面BCD均为正三角形，
点E，F，G，H分别为BD，BC，AC，AD中点，
∴EF∥DC∥HG，且EF=

1

2

DC=HG，
∴EFGH是平行四边形，
取CD中点O，连结AO，BO，
∴DC⊥平面AOB，∴CD⊥AB，EH⊥EF，
∴四边形EFGH为矩形．
（2）解：由（1）知∠AOB为二面角A-DC-B的平面角，∴∠AOB=60°，
∵AB∥EH，∴EH与平面BCD所成角为AB与面BCD所成角，
∵DC⊥平面AOB．∴AB在面BCD射影为BO，
∵AO=BO，∴∠ABO=60°，
∴EH与面BCD所成角的正弦为sin60°=

3

2

．

点评：本题考查四边形为矩形的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．