Question

请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．
如图，∠BAC的平分线与BC和外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D，E，C三点的圆于点F．
（Ⅰ）求证：EF²=ED•EA；
（Ⅱ）若AE=6，EF=3，求AF•AC的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接CE，DF，由AE平分∠BAC，知∠BAD=∠DAC，在圆内由∠DCE=∠EFD，∠BCE=∠BAE，知∠EAF=∠EFD，导出△AEF∽△FED，由此能够证明EF²=ED•EA．
（Ⅱ）由EF²=ED•EA，EF=3，AE=6，知ED=

3

2

，AD=

9

2

，由此能求出AF•AC的值．

解答：（Ⅰ）证明：如图，连接CE，DF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
在圆内又知∠DCE=∠EFD，∠BCE=∠BAE，
∴∠EAF=∠EFD，
又∠AEF=∠FED，
∴△AEF∽△FED，∴

EF

ED

=

AE

EF

，
∴EF²=ED•EA．…（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知EF²=ED•EA，
∵EF=3，AE=6，
∴ED=

3

2

，AD=

9

2

，
∴AC•AF=AD•AE=6×

9

2

=27．…（10分）

点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角形相似的灵活运用．