Question

设函数f（x）=mx²-mx-1．
（1）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；
（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数恒成立问题的解决方法列出关于实数m的不等式是解决本题的关键，要注意对二次项次数的讨论，是二次不等式问题要注意二次不等式与二次函数之间的互相转化；
（2）函数在区间上恒成立问题，要转化为函数在给定区间上的最值问题，通过求解函数的最值，列出关于实数m的不等式，达到求解该题的目的．

解答：解：（1）要使mx²-mx-1＜0恒成立，
若m=0，显然-1＜0；
若m≠0，则有

m＜0 △=m2+4m＜0

?-4＜m＜0．
∴-4＜m≤0．
（2）当m=0时，f（x）=-1＜0显然恒成立；当m≠0时，该函数的对称轴是x=

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，f（x）在x∈[1，3]上是单调函数．
当m＞0时，由于f（1）=-1＜0，要使f（x）＜0在x∈[1，3]上恒成立，只要f（3）＜0即可．
即9m-3m-1＜0得m＜

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，即0＜m＜

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；
当m＜0时，若△＜0，由（1）知显然成立，此时-4＜m＜0；若△≥0，则m≤-4，
由于函数f（x）＜0在x∈[1，3]上恒成立，只要f（1）＜0即可，此时f（1）=-1＜0显然成立，综上可知：m＜

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．

点评：本题考查函数恒成立问题的解决思路和方法，考查函数与不等式的综合问题，考查二次函数与二次不等式的互相转化问题，考查学生的转化与化归的思想和方法、解不等式的思想，考查学生分析问题解决问题的能力．