Question

如图，已知A、B、C是直线m上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线m于点A，又过B、C作⊙O′异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P，

(1)求点P的轨迹方程;

(2)经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分所成比等于2∶3，求直线l的方程.

Answer 1

解：(1)∵|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,

∴|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=18＞6=|BC|.

∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.故可以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,设椭圆的方程是+=1(a＞b＞0).

∵a=9,c=3,∴b²=72.

∴P点的轨迹方程是=1(y≠0).

(2)设M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),∵C(3,0)分MN所成的比为,则有

又∵=1,

∴               ①

又=1,                        ②

由①②消去y₂:(5-x₂)²+(1-)=1,解得x₂=-3,y₂=±8,即N(-3,±8).

∴由C、N可得直线l的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.