Question

【题目】设函数f（x）= ，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
【解析】解：函数f（x）= ， 当x＞2时，f（x）=2x+a，在（2，+∞）上为增函数，f（x）∈（4+a，+∞）；
当x≤2时，f（x）=x+a2 ， 在（﹣∞，2]上为增函数，f（x）∈（﹣∞，2+a2]；
若f（x）的值域为R，则（﹣∞，2+a2]∪（4+a，+∞）=R，
则2+a2≥4+a，
即a2﹣a﹣2≥0
解得a≤﹣1，或a≥2，
则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．
所以答案是：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．