Question

【题目】已知椭圆： （为参数），是上的动点，且满足（为坐标原点），以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为

（1）求线段的中点的轨迹的普通方程；

（2）证明：为定值，并求面积的最大值。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）依据点DA、的直角坐标，求出线段AD的中点,消去参数得M的轨迹E的普通方程；（2）椭圆C的极坐标方程为：,；设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）， ,△AOB面积由均值不等式得到结果.

（1）n 点D的直角坐标为（﹣2，﹣2），由题意设A（3cos，sin），

∴线段AD的中点，∴点M的参数方程为：，消去参数：.

M的轨迹E的普通方程：;

（2）椭圆C的普通方程为：，化为极坐标方程为：,

∵OA⊥OB，∴设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）

即+＝＝（定值）

△AOB面积，因为

故面积的最大值为：.

△AOB面积的最大值为