【题目】设函数f(x)=ln x-ax(a∈R)(e=2.718 28…是自然对数的底数).
(1)判断f(x)的单调性;
(2)当f(x)<0在(0,+∞)上恒成立时,求a的取值范围;
(3)证明:当x∈(0,+∞)时, (1+x) <e.
【答案】见解析
【解析】(1)f′(x)=-a,函数f(x)=ln x-ax的定义域为(0,+∞),
当a≤0时,f′(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)上是增函数,
当a>0时,x∈时,f′(x)>0,此时f(x)在上是增函数,x∈时,f′(x)<0,此时f(x)在上是减函数.
综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数,当a>0时,f(x)在上是增函数,在上是减函数.
(2)f(x)<0在(0,+∞)上恒成立,即a>在(0,+∞)上恒成立,
设g(x)=,则g′(x)=,
当x∈(0,e)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,
故当x=e时,g(x)取得最大值,
所以a的取值范围是.
(3)证明:要证当x∈(0,+∞)时, (1+x) <e,设t=1+x,t∈(1,+∞),只要证t<et,两边取以e为底数的对数,即ln t<t-1.
由(1)知当a=1时,f(x)=ln x-x的最大值为-1,此时x=1,所以当t∈(1,+∞)时,ln t-t<-1,
即得ln t<t-1,所以原不等式成立.
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【题目】在直角坐标系中,已知曲线(为参数),在以为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线,曲线.
(1)求曲线与的交点的直角坐标;
(2)设点, 分别为曲线上的动点,求的最小值.
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【题目】(本小题满分14分)
某公司经销某产品,第天的销售价格为(为常数)(元∕件),第天的销售量为(件),且公司在第天该产品的销售收入为元.
(1)求该公司在第天该产品的销售收入是多少?
(2)这天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大?最大收入为多少?
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【题目】已知直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.直线过点.
(1)若直线与曲线交于两点,求的值;
(2)求曲线的内接矩形的周长的最大值.
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【题目】【2017银川一中模拟】如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=CD=1.现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF,然后沿边AD将矩形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直.
(1)求证:BC⊥平面BDE;
(2)若点D到平面BEC的距离为,求三棱锥F-BDE的体积.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.
(1)求证:平面EAC⊥平面PBC;
(2)若二面角P-AC-E的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
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