Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=

1

3

(4n-t)，n∈N^*．
（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b_n=1og₄a_n+1，c_n=a_n+b_n，T_n是数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，可求得a₁，a₂，a₃，由a₁，a₂，a₃成等比数列即可求得t的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，易求b_n=n，a_n=4^n-1，利用分组求和法即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=

1

3

(4n-t)，
∴a₁=

1

3

（4-t），
∴a₂=S₂-a₁=

1

3

（4²-t）-

1

3

（4-t）=4，
a₃=S₃-S₂=

1

3

（4³-t）-

1

3

（4²-t）=

1

3

（4³-4²）=16，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，
∴a22=a₁•a₃，即16=

1

3

（4-t）×16，
解得t=1，
∴t=1时，S_n=

1

3

（4ⁿ-1），
∴S_n+1=

1

3

（4ⁿ⁺¹-1），
∴a_n+1=S_n+1-S_n=

1

3

（4ⁿ⁺¹-4ⁿ）=4ⁿ，
∴

an+1

an

=4，即t=1时，数列{a_n}是公比为4的等比数列；
（Ⅱ）∵{a_n}是首项为1，公比为4的等比数列，
∴a_n=4^n-1，a_n+1=4ⁿ，
∴b_n=1og₄a_n+1=log44n=n，
∴c_n=a_n+b_n=4^n-1+n，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
=（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+..+n）
=

1-4n

1-4

-

n(1+n)

2

=

1

3

（4ⁿ-1）-

n(1+n)

2

=

4n

3

-

n(1+n)

2

-

1

3

．

点评：本题考查数列的求和，考查等比关系的确定，求得t=1是关键，考查分组求和，突出考查灵活转化与运算能力，属于中档题．