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数列{a_n}的前n项和为S_n，若数列{a_n}的各项按如下规律排列： $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ，…， $数学公式$ ， $数学公式$ ，…， $数学公式$ ，…有如下运算和结论：
① $数学公式$ ；
② $数学公式$
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等比数列
④数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…的前n项和为 $数学公式$ ；
⑤若存在正整数k，使S_k＜10，S_k+1＞10，则 $数学公式$ ．
在后面横线上填写出所有你认为正确运算结果或结论的序号________．

②④⑤
分析：根据数列的规律，分母为n时，所对应的项数是（n-1）项．从分母是2开始到分母为n结束共有 $\text{[math]}$ 项
①前23项构成的数列是： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ ，则第23项一目了然．
②易知：前11项构成的数列是： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再求和便知正误．
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…实际上是 $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$ ，2，… $\text{[math]}$ ，再由数列定义判断
④数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…实际上是 $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$ ，2，… $\text{[math]}$ ，先判断数列类型，再用求其前n项和．
⑤通过④的前n项和解不等式，确定k的值，从而再判断终止的项．
解答：①前23项构成的数列是： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，故不正确；
②由数列可知：前11项构成的数列是： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴s₁₁= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故正确；
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是 $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$ ，2， $\text{[math]}$
由等差数列定义 $\text{[math]}$ （常数），所以是等差数列，故不正确．
④∵数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是 $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$ ，2，… $\text{[math]}$ ．
由③知是等差数列，所以由等差数列前n项和公式可知： $\text{[math]}$ ，故正确；
⑤由④知数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅，a₁₆+a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀+a₂₁，是 $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$ ，2， $\text{[math]}$
， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
∴T₅=7.5＜10，T₆=10.5＞10，∴ $\text{[math]}$ ，正确．
故答案为：②④⑤
点评：本题主要考查探究数列的规律，转化数列，构造数列来研究相应数列通项和前n项和问题，这种题难度较大，必须从具体到一般地静心研究，再推广到一般得到结论．

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设等比数列{a_n}的公比q≠1，S_n表示数列{a_n}的前n项的和，T_n表示数列{a_n}的前n项的乘积，T_n（k）表示{a_n}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积，即T_n（k）=

（n，k∈N⁺，k≤n），则数列

SnTn

Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)

的前n项的和是

a12

2-q-q-1

（n+nq-

q-qn+1+1-q1-n

1-q

）

a12

2-q-q-1

（n+nq-

q-qn+1+1-q1-n

1-q

）

（用a₁和q表示）

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科目：高中数学 来源： 题型：

若数列{a_n}的通项an=

pn-q

，实数p，q满足p＞q＞0且p＞1，s_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求证：当n≥2时，pa_n＜a_n-1；
（2）求证sn＜

(p-1)(p-q)

(1-

)；
（3）若an=

(2n-1)(2n+1-1)

，求证sn＜

．

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科目：高中数学 来源： 题型：

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a_n＞0，Sn=

+an

，n∈N^*，
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，bn+1=2an+bn，求数列{b_n}的通项公式b_n．

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科目：高中数学 来源： 题型：

（2012•商丘二模）数列{a_n}的前n项和为S_n，若数列{a_n}的各项按如下规律排列：

，

…，

，

，…，

n-1

，…有如下运算和结论：
①a₂₄=

；
②数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等比数列；
③数列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…的前n项和为T_n=

n2+n

；
④若存在正整数k，使S_k＜10，S_k+1≥10，则a_k=

．
其中正确的结论是

①③④

．（将你认为正确的结论序号都填上）

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科目：高中数学 来源： 题型：

给出下列命题：
①若数列{a_n}的前n项和Sn=2n+1，则数列{a_n}为等比数列；
②在△ABC中，如果A=60°，a=

，b=4，那么满足条件的△ABC有两解；
③设函数f（x）=x|x-a|+b，则函数f（x）为奇函数的充要条件是a²+b²=0；
④设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是

③

．

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