Question

（2005•朝阳区一模）已知函数f（x）=-x³+3x
（I）证明：函数f（x）是奇函数；
（II）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再计算f（-x），证明其与f（x）互为相反数即f（-x）=-f（x）即可
（II）先求函数f（x）的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0得函数的单调增区间，解不等式f′（x）＜0可得函数的单调减区间，最后将解集写成区间形式

解答：解：（I）证明：显然f（x）的定义域是R．设任意x∈R，∵f（-x）=-（-x）³+3（-x）=-（-x³+3x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数
（II）解：∵f′（x）=-3x²+3，
令f′（x）＞0，由-3x²+3＞0，解得-1＜x＜1
由此可知，当-1＜x＜1时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）=-x³+3x的单调增区间是（-1，1）；
当x＜-1或x＞1时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）=-x³+3x的单调减区间分别是（-∞，-1），（1，+∞）

点评：本题考察了函数奇偶性的证明方法，求函数单调区间的方法，导数在解决函数单调性中的应用