Question

8．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
（1）二面角A-B₁C-A₁的大小 
（2）平面A₁DC₁平面A₁D₁DA所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出二面角A-B₁C-A₁的大小．
（2）求出平面DA₁C₁的法向量和平面A₁D₁DA的法向量，由此利用向量法能求出平面A₁DC₁平面A₁D₁DA所成角的正切值．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
则A（1，0，0），B₁（1，1，1），C（0，1，0），A₁（1，0，1），
$\overrightarrow{CA}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（1，-1，1），
设平面CAB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1），
设平面CA₁B₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=a-b+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=a+c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，-1），
设二面角A-B₁C-A₁的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{1+0+1}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴θ=arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角A-B₁C-A₁的大小为arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）C₁=（0，1，1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，1），
设平面DA₁C₁的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{D{A}_{1}}={x}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{D{C}_{1}}={y}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=-1，得$\overrightarrow{p}$=（-1，-1，1），
又平面A₁D₁DA的法向量$\overrightarrow{q}$=（0，1，0），
设平面A₁DC₁平面A₁D₁DA所成角的平面角为α，
则cosα=|cos＜$\overrightarrow{p}，\overrightarrow{q}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{p}|•|\overrightarrow{q}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tanα=$\sqrt{2}$，
∴平面A₁DC₁平面A₁D₁DA所成角的正切值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二面角的求法，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．