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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    在极坐标系中，圆的极坐标方程为： .若以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系.

    （Ⅰ）求圆的直角坐标方程及其参数方程；

    （Ⅱ）在直角坐标系中，点是圆上动点，求的最大值，并求出此时

    点的直角坐标.

    【答案】（Ⅰ） (为参数) ；（Ⅱ）6．

    【解析】试题分析：（Ⅰ）由，利用化简整理，可得圆的直角坐标方程，从而可得其参数方程；（Ⅱ）利用圆的参数方程，表示出，通过两角和与差的三角函数化简，利用三角函数的有界性求解最大值，并求出此时点的直角坐标.

    试题解析：（Ⅰ）因为，

    ∴，

    ∴，即为圆C的直角坐标方程．

    所以所求的圆的参数方程为 (为参数) ．

    （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

    当 时，即点的直角坐标为时， 取到最大值为6.

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    与教育有关

    与教育无关

    合计

    男

    30

    10

    40

    女

    35

    5

    40

    合计

    65

    15

    80

    （1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”？

    参考公式：（）．

    附表：

    0.50

    0.40

    0.25

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.455

    0.708

    1.323

    2.072

    2.706

    3.841

    5.023

    6.635

    （2）求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；

    （3）以（2）中的频率作为概率.该校近几年毕业的2000名师范类大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事与教育有关的人数为，求的数学期望.

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