Question

设a为实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（Ⅰ）若f（1）≥3，求a的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数的最值及其几何意义

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由条件解绝对值不等式，求得a的范围．
（Ⅱ）分x≥a和x＜a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，借助二次函数的对称轴及单调性，最后综合即可求得f（x）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|，
由f（1）=2+（1-a）|1-a|≥3，求得 （1-a）|1-a|≥1，
∴

1-a＞0 (1-a)2≥1

，求得a≤0．
（Ⅱ）当x≥a时，f（x）=3x²-2ax+a²，=，∴f（x）_min=

f(a)=2a2，a≥0 f( a 3 )= 2 3 •a2，a＜0

，如图所示：

当x≤a时，f（x）=x²+2ax-a²，
∴f（x）_min=

f(-a)=-2a2，a≥0 f(a)=2a2，a＜0

，如图所示：

综上所述：f（x）_min=

-2a2，a≥0 2 3 •a2，a＜0

．

点评：本题考查了分段函数的最值问题，分段函数的最值的求法是先对每一段分别求最值，最后综合最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值，体现了数形结合、转化的数学思想，属于基础题．