Question

给出下列四个命题：
①“向量a，b的夹角为锐角”的充要条件是“a•b＞0”；
②如果f（x）=lgx，则对任意的x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

；
③将4个不同的小球全部放入3个不同的盒子，使得每个盒子至少放入1个球，共有72种不同的放法；
④记函数y=f（x）的反函数为y=f^-1（x），要得到y=f^-1（1-x）的图象，可以先将y=f（x）的图象关于直线y=x做对称变换，再将所得的图象关于y轴做对称变换，再将所得的图象沿x轴向左平移1个单位，即得到y=f^-1（1-x）的图象．
其中真命题的序号是

②

．（请写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：对于①：“向量a，b的夹角为锐角”的充要条件是“a•b＞0，且cos＜a，b＞≠1；
对于②：函数f（x）=lgx为上凸函数，故为真命题；
对于③：将4个不同的小球全部放入3个不同的盒子，使得每个盒子至少放入1个球，共有C₄²A₃³=36种不同的放法，故为假命题；
对于④：记函数y=f（x）的反函数为y=f^-1（x），要得到y=f^-1（1-x）的图象，可以先将y=f（x）的图象关于直线y=x做对称变换，再将所得的图象关于y轴做对称变换，再将所得的图象沿x轴向右平移1个单位，即得到y=f^-1[-（x-1）]=f^-1（1-x）的图象，∴④为假命题．
综上，只有②是真命题．

解答：解：∵“向量a，b的夹角为锐角”的充要条件是“a•b＞0，且cos＜a，b＞≠1”，∴①为假命题；
∵函数f（x）=lgx为上凸函数，∴对任意的x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

，∴②为真命题；
∵将4个不同的小球全部放入3个不同的盒子，使得每个盒子至少放入1个球，共有C₄²A₃³=36种不同的放法，
∴③为假命题；
∵记函数y=f（x）的反函数为y=f^-1（x），要得到y=f^-1（1-x）的图象，可以先将y=f（x）的图象关于直线y=x做对称变换，再将所得的图象关于y轴做对称变换，再将所得的图象沿x轴向右平移1个单位，即得到y=f^-1[-（x-1）]=f^-1（1-x）的图象，故为假命题．

点评：本题的考点是命题的真假判断与应用，主要考查命题真假判断，涉及向量知识、函数知识、排列组合知识及图象的变换，综合性强．