Question

（2013•汕头二模）已知动点P（x，y）与两个定点M（-1，0），N（1，0）的连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状；
（3）当λ=2时，对于平面上的定点E(-

3

，0)，F(

3

，0)，试探究轨迹C上是否存在点P，使得∠EPF=120°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）写出过PM与PN的直线的斜率，直接利用斜率之积等于常数λ（λ≠0）求出动点P的轨迹C的方程；
（2）根据λ的不同取值，结合圆锥曲线的标准方程逐一讨论轨迹C的形状；
（3）当λ=2时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线，且判出E，F恰为双曲线的两个焦点，假设点P存在，结合正余弦定理，利用三角形PEF的面积相等求解P点的坐标．

解答：解、（1）由题设可知；PM，PN的斜率存在且不为0，
则由k_PM•k_PN=λ得：

y

x+1

•

y

x-1

=λ，即x2-

y2

λ

=1  (y≠0)．
所以动点P的轨迹C的方程为x2-

y2

λ

=1  (y≠0)；
（2）讨论如下：
①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线（除去顶点）
②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆（除去长轴两个端点）
③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆（除去点（-1，0），（1，0））
④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴两个端点）；
（3）当λ=2时，轨迹C的方程为x2-

y2

2

=1  (y≠0)，显然定点E、F为其左右焦点．
假设存在这样的点P，使得∠EPF=120°，记∠EPF=θ，
设PE=m，PF=n，EF=2

3

，
那么在△EPF中：由|m-n|=2，得m²+n²-2mn=4，
(2

3

)2=m2+n2-2mncosθ，
两式联立得：2mn（1-cosθ）=8，所以mn=

4

1-cosθ

=

4

1-cos120°

=

8

3

．

S△EPF=

1

2

mnsin120°=

1

2

×

8

3

×

3

2

=

2 3

3

 
再设P（x_P，y_P）
又因为S△EPF=

1

2

|EF||yP|=

1

2

×2

3

|yP|=

2 3

3

所以|yP|=

2

3

故yP=±

2

3

代入椭圆的方程可得：xP2-

(± 2 3 )2

2

=1
所以xP=±

11

3

，所以满足题意的点P有四个，坐标分别为：(

11

3

，

2

3

)，(-

11

3

，

2

3

)，(

11

3

，-

2

3

)，(-

11

3

，-

2

3

)．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆的位置关系，训练了分类讨论的数学思想方法，涉及圆锥曲线上的一点和圆锥曲线两个焦点连线的问题，结合正余弦定理及圆锥曲线的定义进行求解是常用的方法，此题是中档题．