【题目】设函数(
).
(1)若函数在定义域上是单调函数,求实数
的取值范围;
(2)求函数的极值点;
(3)令,
,设
,
,
是曲线
上相异三点,其中
.求证:
.
【答案】(1)实数的取值范围是
(2)时,
有唯一极小值点
,
时,
有一个极大值点
和一个极小值点
;
时,
无极值点.
(3)证明见解析
【解析】试题分析:(1)利用导数转化为: 或
在
上恒成立.再根据变量分离转化为对应函数最值:
最大值或
最小值,即得
.(2)实质为讨论一元二次方程
解的情况:当
时,方程无解,函数无极值点;
时,方程有一解,函数有一个极值点;
时,方程有两解,函数有两个极值点;(3)借助第三量
进行论证,先证
,代入化简可得
,构造函数
,其中
(
),利用导数易得
在
上单调递增,即
,即有
,同理可证
,
试题解析:解:(1),
函数
在定义域上是单调函数,
或
在
上恒成立.
若恒成立,得
.
若恒成立,即
恒成立.
在
上没有最小值,
不存在实数
使
恒成立.
综上所述,实数的取值范围是
.
(2)由(1)知当时,函数
无极值点.
当时,
有两个不同解,
,
,
时,
,
,即
,
,
时,
在
上递减,在
上递增,
有唯一极小值点
;
当时,
.
,
,
在
上递增,在
递减,在
递增,
有一个极大值点
和一个极小值点
.
综上所述, 时,
有唯一极小值点
,
时,
有一个极大值点
和一个极小值点
;
时,
无极值点.
(3)先证: ,即证
,
即证
,
令(
),
,
,
所以在
上单调递增,即
,即有
,所以获证.
同理可证: ,
所以.
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【题目】某电子公司开发一种智能手机的配件,每个配件的成本是15元,销售价是20元,月平均销售件,通过改进工艺,每个配件的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果每个配件的销售价提高的百分率为
,那么月平均销售量减少的百分率为
,记改进工艺后电子公司销售该配件的月平均利润是
(元).
(1)写出与
的函数关系式;
(2)改进工艺后,试确定该智能手机配件的售价,使电子公司销售该配件的月平均利润最大.
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【题目】祖暅是南北朝时代的伟大科学家,5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体:图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体;图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④
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【题目】已知抛物线:
,定点
(常数
)的直线
与曲线
相交于
、
两点.
(1)若点的坐标为
,求证:
(2)若,以
为直径的圆的位置是否恒过一定点?若存在,求出这个定点,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数是定义在
上的偶函数,当
时,
.
(1)直接写出函数的增区间(不需要证明);
(2)求出函数,
的解析式;
(3)若函数,
,求函数
的最小值.
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【题目】已知椭圆:
的左顶点为
,右焦点为
,
为原点,
,
是
轴上的两个动点,且
,直线
和
分别与椭圆
交于
,
两点.
(Ⅰ)求的面积的最小值;
(Ⅱ)证明: ,
,
三点共线.
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【题目】一片成熟森林的总面积为 (近期内不再种植),计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的
,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的
.
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
(3)今后最多还能砍伐多少年?
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,
底面
,
,过点
的平面与棱
,
,
分别交于点
,
,
(
,
,
三点均不在棱的端点处).
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若平面
,求
的值;
(Ⅲ)直线是否可能与平面
平行?证明你的结论.
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