Question

直线l：x+2y-3=0与圆C：x²+y²+x-6y+m=0相交于A、B两点，O为坐标原点，D为线段AB的中点
（Ⅰ）分别求出圆心C以及点D的坐标；
（Ⅱ）若OA⊥OB，求|AB|的长以及m的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）圆C：x²+y²+x-6y+m=0的圆心为（-

1

2

，3），将直线和圆进行联立，利用根与系数之间的关系建立条件方程，利用韦达定理，D为线段AB的中点，求出点D的坐标；
（Ⅱ）利用韦达定理、两个向量垂直的性质，求出m的值，再求出|AB|．

解答： 解：（Ⅰ）圆C：x²+y²+x-6y+m=0的圆心为（-

1

2

，3）．
由题意设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线l：x+2y-3=0与圆C：x²+y²+x-6y+m=0，消y得5x²+10x+4m-27=0，
于是根据韦达定理得，x₁+x₂=-2，
∵D为线段AB的中点，
∴D（-1，2）；
（Ⅱ）根据韦达定理得，x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

4m-27

5

．
∴y₁•y₂=

1

4

[9-3（x₁+x₂）+x₁•x₂]=

m+12

5

．
根据OA⊥OB，可得

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=

4m-27

5

+

m+12

5

=0，求得m=3，
∴方程为x²+2x-3=0，
∴x=1或-3，
∴|AB|=

1+ 1 4

×|1+3|=2

5

．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．