Question

正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的侧棱长为2

3

，底面边长为4，则该球的表面积是（　　）

• A、36π
• B、32π
• C、18π
• D、16π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：设球半径为R，底面中心为O′且球心为O．正四棱锥P-ABCD中根据AB=4，PA=2

3

，算出AO′=2

2

，可得PO′=2，OO′=PO′-PO=2-R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立关于R的等式，解出R=3，再利用球的表面积公式即可得到外接球的表面积．

解答： 解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，
∵正四棱锥P-ABCD中AB=4，PA=2

3

，
∴AO′=2

2

，可得PO′=2，OO′=PO′-PO=2-R
∵在Rt△AOO′中，AO²=AO′²+OO′²，
∴R²=（2

2

）²+（2-R）²，解之得R=3，
因此可得外接球的表面积为：4πR²=36π．
故选：A．

点评：本题给出正四棱锥的形状，求它的外接球的表面积，着重考查了正棱锥的性质、多面体的外接球、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．