Question

已知△ABC的三边是10以内（不包含10）的三个连续的正整数．
（1）若a=2，b=3，c=4，求证：△ABC是钝角三角形；
（2）求任取一个△ABC是锐角三角形的概率．

Answer 1

分析：（1）显然C时最大的角，因为cosC=

a2+b2-c2

2ab

=-

1

4

＜0，所以C为钝角，从而△ABC是钝角三角形．
（2）满足题意能组成三角形三边的数组共6组（最小边取值为2、3、4、5、6、7），其中有4组是锐角三角形，所以可求概率．

解答：解：（1）显然C时最大的角，因为cosC=

a2+b2-c2

2ab

=-

1

4

＜0，所以C为钝角，即△ABC是钝角三角形．
（2）依题意，不妨设n=n-1，b=n，c=n+1（n＞1，n∈N），从而有a+b＞c，即n＞2，所以△ABC的最小边为2，要使△ABC是锐角三角形，只需△ABC的最大角C是锐角，cosC = 

n-4

2(n-1)

＞0，∴n＞4，所以要使△ABC是锐角三角形，△ABC的最小边为4，另一方面从2、3、4、5、6、7中，“任取三个连续正整数”共有6种基本情况，其中有4组是锐角三角形，所以概率为

2

3

．

点评：本题主要考查三角形形状的判断，考查余弦定理，属于基础题．