Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx的导函数的图象关于直线x=2对称．
（1）求b的值；
（2）若f（x）在x=t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域和值域．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=x³+bx²+cx的导函数的图象关于直线x=2对称，则求出f′（x）得到一个二次函数，利用x=-

b

2a

=2求出b即可；（2）求出f′（x），由（1）得函数的对称轴为x=2，讨论c的取值范围求出g（t）的定义域和值域即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c
因为函数f′（x）的图象关于直线x=2对称，
所以-

2b

6

=2，于是b=-6
（2）由（Ⅰ）知，f（x）=x³-6x²+cx
f′（x）=3x²-12x+c=3（x-2）²+c-12
（ⅰ）当c≥12时，f′（x）≥0，此时f（x）无极值．
（ii）当c＜12时，f′（x）=0有两个互异实根x₁，x₂．
不妨设x₁＜x₂，则x₁＜2＜x₂．
当x＜x₁时，f′（x）＞0，f（x）在区间（-∞，x₁）内为增函数；
当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，f（x）在区间（x₁，x₂）内为减函数；
当x＞x₂时，f′（x）＞0，f（x）在区间（x₂，+∞）内为增函数．
所以f（x）在x=x₁处取极大值，在x=x₂处取极小值．
因此，当且仅当c＜12时，函数f（x）在x=x₂处存在唯一极小值，所以t=x₂＞2．
于是g（t）的定义域为（2，+∞）．
由f′（t）=3t²-12t+c=0得c=-3t²+12t．
于是g（t）=f（t）=t³-6t²+ct=-2t³+6t²，t∈（2，+∞）．
当t＞2时，g′（t）=-6t²+12t=6t（2-t）＜0
所以函数g（t）在区间（2，+∞）内是减函数，
故g（t）的值域为（-∞，8）

点评：考查学生利用导数求函数函数的单调性及确定函数极值存在位置的能力，以及利用导数求函数最值的能力．利用导数研究函数的单调性是函数的一个极其重要的应用，它大大简化了证明单调性的方法．